imtoken钱包下载使用教程|14 101 49 63哪个是质数

作者： imtoken钱包下载使用教程

2024-03-11 00:52:44

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质数(素数)计算器 - 判断一个数是否为质数/素数

质数(素数)计算器

质数又称素数。指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。

计算类型：

判断一个数是不是质数(素数)

输出n内的所有素数(素数)

输入数字：

数字范围：

至

注：范围区间不能超过10000, 过大无法计算哟！

计算结果：

如何判断质数(素数)?

最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。

优化方案：对于每个数n，其实并不需要从2判断到n-1，我们知道，一个数若可以进行因数分解，那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n)，一个大于等于sqrt(n)，据此，上述代码中并不需要遍历到n-1，遍历到sqrt(n)即可，因为若sqrt(n)左侧找不到约数，那么右侧也一定找不到约数。

100以内的质数表：

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97

10000以内的质数表：

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 233 , 239 , 241 , 251 , 257 , 263 , 269 , 271 , 277 , 281 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 317 , 331 , 337 , 347 , 349 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 419 , 421 , 431 , 433 , 439 , 443 , 449 , 457 , 461 , 463 , 467 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 521 , 523 , 541 , 547 , 557 , 563 , 569 , 571 , 577 , 587 , 593 , 599 , 601 , 607 , 613 , 617 , 619 , 631 , 641 , 643 , 647 , 653 , 659 , 661 , 673 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 733 , 739 , 743 , 751 , 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 809 , 811 , 821 , 823 , 827 , 829 , 839 , 853 , 857 , 859 , 863 , 877 , 881 , 883 , 887 , 907 , 911 , 919 , 929 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 977 , 983 , 991 , 997 , 1009 , 1013 , 1019 , 1021 , 1031 , 1033 , 1039 , 1049 , 1051 , 1061 , 1063 , 1069 , 1087 , 1091 , 1093 , 1097 , 1103 , 1109 , 1117 , 1123 , 1129 , 1151 , 1153 , 1163 , 1171 , 1181 , 1187 , 1193 , 1201 , 1213 , 1217 , 1223 , 1229 , 1231 , 1237 , 1249 , 1259 , 1277 , 1279 , 1283 , 1289 , 1291 , 1297 , 1301 , 1303 , 1307 , 1319 , 1321 , 1327 , 1361 , 1367 , 1373 , 1381 , 1399 , 1409 , 1423 , 1427 , 1429 , 1433 , 1439 , 1447 , 1451 , 1453 , 1459 , 1471 , 1481 , 1483 , 1487 , 1489 , 1493 , 1499 , 1511 , 1523 , 1531 , 1543 , 1549 , 1553 , 1559 , 1567 , 1571 , 1579 , 1583 , 1597 , 1601 , 1607 , 1609 , 1613 , 1619 , 1621 , 1627 , 1637 , 1657 , 1663 , 1667 , 1669 , 1693 , 1697 , 1699 , 1709 , 1721 , 1723 , 1733 , 1741 , 1747 , 1753 , 1759 , 1777 , 1783 , 1787 , 1789 , 1801 , 1811 , 1823 , 1831 , 1847 , 1861 , 1867 , 1871 , 1873 , 1877 , 1879 , 1889 , 1901 , 1907 , 1913 , 1931 , 1933 , 1949 , 1951 , 1973 , 1979 , 1987 , 1993 , 1997 , 1999 , 2003 , 2011 , 2017 , 2027 , 2029 , 2039 , 2053 , 2063 , 2069 , 2081 , 2083 , 2087 , 2089 , 2099 , 2111 , 2113 , 2129 , 2131 , 2137 , 2141 , 2143 , 2153 , 2161 , 2179 , 2203 , 2207 , 2213 , 2221 , 2237 , 2239 , 2243 , 2251 , 2267 , 2269 , 2273 , 2281 , 2287 , 2293 , 2297 , 2309 , 2311 , 2333 , 2339 , 2341 , 2347 , 2351 , 2357 , 2371 , 2377 , 2381 , 2383 , 2389 , 2393 , 2399 , 2411 , 2417 , 2423 , 2437 , 2441 , 2447 , 2459 , 2467 , 2473 , 2477 , 2503 , 2521 , 2531 , 2539 , 2543 , 2549 , 2551 , 2557 , 2579 , 2591 , 2593 , 2609 , 2617 , 2621 , 2633 , 2647 , 2657 , 2659 , 2663 , 2671 , 2677 , 2683 , 2687 , 2689 , 2693 , 2699 , 2707 , 2711 , 2713 , 2719 , 2729 , 2731 , 2741 , 2749 , 2753 , 2767 , 2777 , 2789 , 2791 , 2797 , 2801 , 2803 , 2819 , 2833 , 2837 , 2843 , 2851 , 2857 , 2861 , 2879 , 2887 , 2897 , 2903 , 2909 , 2917 , 2927 , 2939 , 2953 , 2957 , 2963 , 2969 , 2971 , 2999 , 3001 , 3011 , 3019 , 3023 , 3037 , 3041 , 3049 , 3061 , 3067 , 3079 , 3083 , 3089 , 3109 , 3119 , 3121 , 3137 , 3163 , 3167 , 3169 , 3181 , 3187 , 3191 , 3203 , 3209 , 3217 , 3221 , 3229 , 3251 , 3253 , 3257 , 3259 , 3271 , 3299 , 3301 , 3307 , 3313 , 3319 , 3323 , 3329 , 3331 , 3343 , 3347 , 3359 , 3361 , 3371 , 3373 , 3389 , 3391 , 3407 , 3413 , 3433 , 3449 , 3457 , 3461 , 3463 , 3467 , 3469 , 3491 , 3499 , 3511 , 3517 , 3527 , 3529 , 3533 , 3539 , 3541 , 3547 , 3557 , 3559 , 3571 , 3581 , 3583 , 3593 , 3607 , 3613 , 3617 , 3623 , 3631 , 3637 , 3643 , 3659 , 3671 , 3673 , 3677 , 3691 , 3697 , 3701 , 3709 , 3719 , 3727 , 3733 , 3739 , 3761 , 3767 , 3769 , 3779 , 3793 , 3797 , 3803 , 3821 , 3823 , 3833 , 3847 , 3851 , 3853 , 3863 , 3877 , 3881 , 3889 , 3907 , 3911 , 3917 , 3919 , 3923 , 3929 , 3931 , 3943 , 3947 , 3967 , 3989 , 4001 , 4003 , 4007 , 4013 , 4019 , 4021 , 4027 , 4049 , 4051 , 4057 , 4073 , 4079 , 4091 , 4093 , 4099 , 4111 , 4127 , 4129 , 4133 , 4139 , 4153 , 4157 , 4159 , 4177 , 4201 , 4211 , 4217 , 4219 , 4229 , 4231 , 4241 , 4243 , 4253 , 4259 , 4261 , 4271 , 4273 , 4283 , 4289 , 4297 , 4327 , 4337 , 4339 , 4349 , 4357 , 4363 , 4373 , 4391 , 4397 , 4409 , 4421 , 4423 , 4441 , 4447 , 4451 , 4457 , 4463 , 4481 , 4483 , 4493 , 4507 , 4513 , 4517 , 4519 , 4523 , 4547 , 4549 , 4561 , 4567 , 4583 , 4591 , 4597 , 4603 , 4621 , 4637 , 4639 , 4643 , 4649 , 4651 , 4657 , 4663 , 4673 , 4679 , 4691 , 4703 , 4721 , 4723 , 4729 , 4733 , 4751 , 4759 , 4783 , 4787 , 4789 , 4793 , 4799 , 4801 , 4813 , 4817 , 4831 , 4861 , 4871 , 4877 , 4889 , 4903 , 4909 , 4919 , 4931 , 4933 , 4937 , 4943 , 4951 , 4957 , 4967 , 4969 , 4973 , 4987 , 4993 , 4999 , 5003 , 5009 , 5011 , 5021 , 5023 , 5039 , 5051 , 5059 , 5077 , 5081 , 5087 , 5099 , 5101 , 5107 , 5113 , 5119 , 5147 , 5153 , 5167 , 5171 , 5179 , 5189 , 5197 , 5209 , 5227 , 5231 , 5233 , 5237 , 5261 , 5273 , 5279 , 5281 , 5297 , 5303 , 5309 , 5323 , 5333 , 5347 , 5351 , 5381 , 5387 , 5393 , 5399 , 5407 , 5413 , 5417 , 5419 , 5431 , 5437 , 5441 , 5443 , 5449 , 5471 , 5477 , 5479 , 5483 , 5501 , 5503 , 5507 , 5519 , 5521 , 5527 , 5531 , 5557 , 5563 , 5569 , 5573 , 5581 , 5591 , 5623 , 5639 , 5641 , 5647 , 5651 , 5653 , 5657 , 5659 , 5669 , 5683 , 5689 , 5693 , 5701 , 5711 , 5717 , 5737 , 5741 , 5743 , 5749 , 5779 , 5783 , 5791 , 5801 , 5807 , 5813 , 5821 , 5827 , 5839 , 5843 , 5849 , 5851 , 5857 , 5861 , 5867 , 5869 , 5879 , 5881 , 5897 , 5903 , 5923 , 5927 , 5939 , 5953 , 5981 , 5987 , 6007 , 6011 , 6029 , 6037 , 6043 , 6047 , 6053 , 6067 , 6073 , 6079 , 6089 , 6091 , 6101 , 6113 , 6121 , 6131 , 6133 , 6143 , 6151 , 6163 , 6173 , 6197 , 6199 , 6203 , 6211 , 6217 , 6221 , 6229 , 6247 , 6257 , 6263 , 6269 , 6271 , 6277 , 6287 , 6299 , 6301 , 6311 , 6317 , 6323 , 6329 , 6337 , 6343 , 6353 , 6359 , 6361 , 6367 , 6373 , 6379 , 6389 , 6397 , 6421 , 6427 , 6449 , 6451 , 6469 , 6473 , 6481 , 6491 , 6521 , 6529 , 6547 , 6551 , 6553 , 6563 , 6569 , 6571 , 6577 , 6581 , 6599 , 6607 , 6619 , 6637 , 6653 , 6659 , 6661 , 6673 , 6679 , 6689 , 6691 , 6701 , 6703 , 6709 , 6719 , 6733 , 6737 , 6761 , 6763 , 6779 , 6781 , 6791 , 6793 , 6803 , 6823 , 6827 , 6829 , 6833 , 6841 , 6857 , 6863 , 6869 , 6871 , 6883 , 6899 , 6907 , 6911 , 6917 , 6947 , 6949 , 6959 , 6961 , 6967 , 6971 , 6977 , 6983 , 6991 , 6997 , 7001 , 7013 , 7019 , 7027 , 7039 , 7043 , 7057 , 7069 , 7079 , 7103 , 7109 , 7121 , 7127 , 7129 , 7151 , 7159 , 7177 , 7187 , 7193 , 7207 , 7211 , 7213 , 7219 , 7229 , 7237 , 7243 , 7247 , 7253 , 7283 , 7297 , 7307 , 7309 , 7321 , 7331 , 7333 , 7349 , 7351 , 7369 , 7393 , 7411 , 7417 , 7433 , 7451 , 7457 , 7459 , 7477 , 7481 , 7487 , 7489 , 7499 , 7507 , 7517 , 7523 , 7529 , 7537 , 7541 , 7547 , 7549 , 7559 , 7561 , 7573 , 7577 , 7583 , 7589 , 7591 , 7603 , 7607 , 7621 , 7639 , 7643 , 7649 , 7669 , 7673 , 7681 , 7687 , 7691 , 7699 , 7703 , 7717 , 7723 , 7727 , 7741 , 7753 , 7757 , 7759 , 7789 , 7793 , 7817 , 7823 , 7829 , 7841 , 7853 , 7867 , 7873 , 7877 , 7879 , 7883 , 7901 , 7907 , 7919 , 7927 , 7933 , 7937 , 7949 , 7951 , 7963 , 7993 , 8009 , 8011 , 8017 , 8039 , 8053 , 8059 , 8069 , 8081 , 8087 , 8089 , 8093 , 8101 , 8111 , 8117 , 8123 , 8147 , 8161 , 8167 , 8171 , 8179 , 8191 , 8209 , 8219 , 8221 , 8231 , 8233 , 8237 , 8243 , 8263 , 8269 , 8273 , 8287 , 8291 , 8293 , 8297 , 8311 , 8317 , 8329 , 8353 , 8363 , 8369 , 8377 , 8387 , 8389 , 8419 , 8423 , 8429 , 8431 , 8443 , 8447 , 8461 , 8467 , 8501 , 8513 , 8521 , 8527 , 8537 , 8539 , 8543 , 8563 , 8573 , 8581 , 8597 , 8599 , 8609 , 8623 , 8627 , 8629 , 8641 , 8647 , 8663 , 8669 , 8677 , 8681 , 8689 , 8693 , 8699 , 8707 , 8713 , 8719 , 8731 , 8737 , 8741 , 8747 , 8753 , 8761 , 8779 , 8783 , 8803 , 8807 , 8819 , 8821 , 8831 , 8837 , 8839 , 8849 , 8861 , 8863 , 8867 , 8887 , 8893 , 8923 , 8929 , 8933 , 8941 , 8951 , 8963 , 8969 , 8971 , 8999 , 9001 , 9007 , 9011 , 9013 , 9029 , 9041 , 9043 , 9049 , 9059 , 9067 , 9091 , 9103 , 9109 , 9127 , 9133 , 9137 , 9151 , 9157 , 9161 , 9173 , 9181 , 9187 , 9199 , 9203 , 9209 , 9221 , 9227 , 9239 , 9241 , 9257 , 9277 , 9281 , 9283 , 9293 , 9311 , 9319 , 9323 , 9337 , 9341 , 9343 , 9349 , 9371 , 9377 , 9391 , 9397 , 9403 , 9413 , 9419 , 9421 , 9431 , 9433 , 9437 , 9439 , 9461 , 9463 , 9467 , 9473 , 9479 , 9491 , 9497 , 9511 , 9521 , 9533 , 9539 , 9547 , 9551 , 9587 , 9601 , 9613 , 9619 , 9623 , 9629 , 9631 , 9643 , 9649 , 9661 , 9677 , 9679 , 9689 , 9697 , 9719 , 9721 , 9733 , 9739 , 9743 , 9749 , 9767 , 9769 , 9781 , 9787 , 9791 , 9803 , 9811 , 9817 , 9829 , 9833 , 9839 , 9851 , 9857 , 9859 , 9871 , 9883 , 9887 , 9901 , 9907 , 9923 , 9929 , 9931 , 9941 , 9949 , 9967 , 9973

质数表和计算器

A 质数 (素数）只可以被 1 和自己整除。

同时它必须是大于一的整数。

以下是所有小于一千的质数：

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

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更多。。。。。。

例子：

8 是不是质数？不是，因为它可以被 2 和 4 (2×4=8)，或 1 和 8整除。

73 是不是质数？是，它只能被 1 和 73整除。

计算器。。。。。。是不是质数？

看看一个数是不是质数（适用于不大于 4,294,967,295 的数）：

你也可以试试这个质数活动。

质数和合成数

质数因子分解工具

质数――高级

质数列表

在线判断质数（素数）,在线计算,在线计算器,计算器在线计算

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质（素）数表: 1 - 100

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质（素）数表

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质数表是一种方便的显示质数分布的方式。质数显示在绿色的地方。点击一个数去查看更多详细信息，包括合数。质数表显示的数高达10000。使用质数计算器，以找出任意一个数是否是质数，以及质因数分解器，以计算任意合数的因数。

支持的函数和运算

数学工具

导数计算

不定积分计算器

定积分计算器

极限计算器

级数计算器

方程求解器

表达式化简器

因式分解计算器

表达式计算器

反函数

泰勒展开计算器

矩阵计算器（其他运算）

矩阵计算器（加、减、乘）

函数图像绘制工具

平面图形计算器

立体图形计算器

质数

分解质因数工具

斐波那契数

伯努利数

欧拉数生成器

复数计算器

阶乘计算器

伽马函数计算器

组合数计算器

分数计算器

统计工具

LaTeX 公式编辑器

数字的性质

0 / 12

例如:

3628800,

9876543211,

12586269025

化学工具

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质数表-质数计算器-质数查询

质数表

什么是质数

质数又称素数，大于1且只能被1和自身整除的自然数（即正整数）为质数。0和1不是质数，最小质数是2，没有最大质数，质数有无限个，目前发现的最大质数是梅森素数2^74207281-1（被称为M74207281）。

质数计算器

质数计算器可以快速方便的查询一个数字是否为质数，查询数字范围：2-9999999999。

查询

质数表大全

50以内的质数表

50以内的质数共有15个，分别是：

23571113171923293137414347

50-100以内的质数表

100以内的质数共有25个，其中50-100以内的质数共有10个，分别是：

53596167717379838997

100-200以内的质数表

200以内的质数共有46个，其中100-200以内的质数共有21个，分别是：

101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199

200-300以内的质数表

300以内的质数共有62个，其中200-300以内的质数共有16个，分别是：

211223227229233239241251257263269271277281283293

300-500以内的质数表

500以内的质数共有95个，其中300-500以内的质数共有33个，分别是：

307311313317331337347349353359367373379383389397401409419421431433439443449457461463467479487491499

500-1000以内的质数表

1000以内的质数共有168个，其中500-1000以内的质数共有73个，分别是：

503509521523541547557563569571577587593599601607613617619631641643647653659661673677683691701709719727733739743751757761769773787797809811821823827829839853857859863877881883887907911919929937941947953967971977983991997

1000-10000以内的质数表

10000以内的质数共有1229个，其中1000-10000以内的质数共有1061个，分别是：

10091013101910211031103310391049105110611063106910871091109310971103110911171123112911511153116311711181118711931201121312171223122912311237124912591277127912831289129112971301130313071319132113271361136713731381139914091423142714291433143914471451145314591471148114831487148914931499151115231531154315491553155915671571157915831597160116071609161316191621162716371657166316671669169316971699170917211723173317411747175317591777178317871789180118111823183118471861186718711873187718791889190119071913193119331949195119731979198719931997199920032011201720272029203920532063206920812083208720892099211121132129213121372141214321532161217922032207221322212237223922432251226722692273228122872293229723092311233323392341234723512357237123772381238323892393239924112417242324372441244724592467247324772503252125312539254325492551255725792591259326092617262126332647265726592663267126772683268726892693269927072711271327192729273127412749275327672777278927912797280128032819283328372843285128572861287928872897290329092917292729392953295729632969297129993001301130193023303730413049306130673079308330893109311931213137316331673169318131873191320332093217322132293251325332573259327132993301330733133319332333293331334333473359336133713373338933913407341334333449345734613463346734693491349935113517352735293533353935413547355735593571358135833593360736133617362336313637364336593671367336773691369737013709371937273733373937613767376937793793379738033821382338333847385138533863387738813889390739113917391939233929393139433947396739894001400340074013401940214027404940514057407340794091409340994111412741294133413941534157415941774201421142174219422942314241424342534259426142714273428342894297432743374339434943574363437343914397440944214423444144474451445744634481448344934507451345174519452345474549456145674583459145974603462146374639464346494651465746634673467946914703472147234729473347514759478347874789479347994801481348174831486148714877488949034909491949314933493749434951495749674969497349874993499950035009501150215023503950515059507750815087509951015107511351195147515351675171517951895197520952275231523352375261527352795281529753035309532353335347535153815387539353995407541354175419543154375441544354495471547754795483550155035507551955215527553155575563556955735581559156235639564156475651565356575659566956835689569357015711571757375741574357495779578357915801580758135821582758395843584958515857586158675869587958815897590359235927593959535981598760076011602960376043604760536067607360796089609161016113612161316133614361516163617361976199620362116217622162296247625762636269627162776287629963016311631763236329633763436353635963616367637363796389639764216427644964516469647364816491652165296547655165536563656965716577658165996607661966376653665966616673667966896691670167036709671967336737676167636779678167916793680368236827682968336841685768636869687168836899690769116917694769496959696169676971697769836991699770017013701970277039704370577069707971037109712171277129715171597177718771937207721172137219722972377243724772537283729773077309732173317333734973517369739374117417743374517457745974777481748774897499750775177523752975377541754775497559756175737577758375897591760376077621763976437649766976737681768776917699770377177723772777417753775777597789779378177823782978417853786778737877787978837901790779197927793379377949795179637993800980118017803980538059806980818087808980938101811181178123814781618167817181798191820982198221823182338237824382638269827382878291829382978311831783298353836383698377838783898419842384298431844384478461846785018513852185278537853985438563857385818597859986098623862786298641864786638669867786818689869386998707871387198731873787418747875387618779878388038807881988218831883788398849886188638867888788938923892989338941895189638969897189999001900790119013902990419043904990599067909191039109912791339137915191579161917391819187919992039209922192279239924192579277928192839293931193199323933793419343934993719377939193979403941394199421943194339437943994619463946794739479949194979511952195339539954795519587960196139619962396299631964396499661967796799689969797199721973397399743974997679769978197879791980398119817982998339839985198579859987198839887990199079923992999319941994999679973

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质数（2,3,5,7,11,13，...）

首页/数学/数字/质数

质数

什么是素数？

质数列表

0是质数吗？

1是质数吗？

2是素数吗？

什么是素数？

质数是一个正自然数，只有两个正自然数除数-一个和它本身。

质数的相反是合成数。复合数是一个正营养数，具有除一个或自身以外的至少一个正除数。

根据定义，数字1不是质数-它只有一个除数。

数字0不是质数-它不是正数并且具有无数个除数。

数字15的因数为1,3,5,15，因为：

15/1 = 15

15/3 = 5

15/5 = 3

15/15 = 1

因此15不是素数。

数字13只有两个除数1,13。

13/1 = 13

13/13 = 1

因此13是质数。

质数表

质数最大为100的列表：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， ...

0是质数吗？

数字0不是质数。

零不是正数，并且具有无限大的除数。

1是质数吗？

根据定义，数字1不是质数。

一种是只有一个除数-本身。

2是素数吗？

数字2是质数。

两个具有2个自然数除数-1和2：

2/1 = 2

2/2 = 1

也可以看看

百分比（％）

英里数（‰）

百万分之一（ppm）

零号

常数

Advertising

号码

数字系统

百分比（％）

英里数（‰）

百万分之一（ppm）

零号

素数

常数

斐波那契数

乘法表

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怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎

怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册怎样优雅地判断一个数是不是质数？忘忧北萱草轻度自由。质数人类对数论的研究可以追溯到公元前，在数论研究的悠久历史中，质数是一个永恒的话题。对于质数的判定，也永远是一个迷人的问题。我们这样定义质数：如果自然数 p > 1 的因数只有1和它本身，那么 p 是质数。质数有很多美妙的性质，比如：如果一个数是质数，那么它是自然数。如果一个数是质数，那么它不是合数。如果一个数是质数，那么它大于等于2。相信我们聪明的读者不难证明这些性质。接下来，让我们进入正题：如何判定一个数是不是质数？入门版素数判定这种高深的数论问题，用一般的编程语言肯定难以优雅地实现。所以，我们必须使用 Wolfram Language 这样专门用于数学计算的语言，才能写出“出淤泥而不染，濯清涟而不妖”的美妙实现。你是素数吗 = PrimeQ;我们来看一个例子：这种纯粹的感觉，就像在QQ群里at你的同学一样自然！但是，我们不能沉溺于舒适区，要勇于面对自己，我们要前往混沌邪恶的 C++ 领域。初级版在进入这一章节之前，我们需要一些十分复杂的数论推导，不喜欢看公式的同学可以暂时跳过下面一小段。要判断一个数是不是质数，其实和判断一个数是不是合数没有太大区别。要判断一个数是合数，按照定义来看，只需要找到一个不是1和它本身的因数就可以。如果我们对一个数 n，找到了这样的因数 m，也就是 m 整除 n，此时一定会有 m \le n 。所以，我们只需要在 2~n-1 的范围内寻找 n 的因数就可以了。上面的推导中居然出现了整整一个公式！我这篇回答的读者要跑掉一半了！根据上面的数论推导，我们可以写出如下的质数判断程序：bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

for(int i = 2; i < n; ++i)

if (n % i == 0) return false;

return true;

}

在这里，我们约定负数和0不是质数。看 C++ 这混沌邪恶的语法，反人类的 for 循环，甚至连 bool 都只是语法糖，在输出的时候只能给出一个冷冰冰的 0 和 1，一点不考虑用户体验……高级版在上面的算法中，我们需要穷举2~n-1的所有整数。真的就没有改进方法了吗？在古希腊时期，有一位数学家叫埃拉托斯特尼，提出了一种方法，叫做埃拉托斯特尼筛法。埃拉托斯特尼筛法是非常经典的质数判定算法，在各种要求精确解的质数判定中，大多数都能见到埃拉托斯特尼筛法的影子。在这里，我必须多次重复埃拉托斯特尼这个长的要命的名字，以表达我对埃拉托斯特尼这位伟大先贤的崇高敬意。埃拉托斯特尼筛法的思想可以给我们很大的启发，埃拉托斯特尼筛法指导我们进一步缩小因数的搜索范围。为此，我们仍然需要更加复杂的数论推导。对于合数 n，我们可以证明它一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。这里的非平凡因数，指的是和1与他本身不同的因数。如果不是，那么它所有的非平凡因数都是大于 \sqrt{n} 的。我们任取其中一个和n不同的非平凡因数 m，那么存在整数 k 使 n=km，那么 k 也为 n 的非平凡因数，但是 k=\frac{n}{m}<\sqrt{n} ，矛盾。所以合数 n 一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。到现在为止我已经用了5个公式了！我的读者已经只剩1/32了！因此，我们只需要在2到 \left[ \sqrt{n} \right] 之间寻找 n 的因数。（这里的 \left[ x \right] 表示不超过 x 的最大整数。）不对，我怎么又用了两个公式……bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

for(int i = 2; i * i <= n; ++i)

if (n % i == 0) return false;

return true;

}

超极版我们刚才的算法都是按照质数的定义，去找一个数有没有因数，这种做法太 naive 了。那么，有没有什么能判定质数的高级定理呢？为了写这篇文章，我耗费了整整180秒上网查资料，找到了这么一个定理：威尔逊定理：对于自然数 p>1，p 是质数当且仅当 (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} 。我怎么又用了公式！还用了同余符号！我的读者会全跑掉的啊！按照上面的想法，我们只要求出 (p-1)!+1 除以 p 的余数，看看是不是0就好了。bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

int factor = 1;

for(int i = 2; i < n; ++i)

factor = ((long long)factor * i) % n;

factor = (factor + 1) % n;

return factor == 0;

}

等等，这个算法好像比上面两个都要慢啊！速度什么不重要，重要的是让别人知道了我们能熟练运用威尔逊定理这样高级的数论定理。还有，那个说在项目里这么写代码的会被人打死的站出bubyguoi;ohugkbvfdsvvgrt4u上D版上D与你同在感谢上D把我复活，我又能回来写文章了。刚才的方法，无一例外都是基于简单的数论原理，这种人工设计的算法难以发挥计算机真正的性能。我们要逃脱手工设计算法的桎梏，进入机器学习的神圣殿堂。于是我又花了整整200秒去查找资料，终于在一篇知乎回答中找到了实现方法：作者使用了端到端的双层 LSTM 网络，将数字转为字符串输入，在质数判定问题上进行了1分钟的训练，效果拔群。神经网络学会了“不管你输入啥只要我蒙合数总比蒙质数对的多”。按照这一思想，我们得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {

return false;

}

多么简洁的逻辑！机器学习让我们发现了世界的本质，就是大道至简！只要我们愿意舍弃那么一（亿）点点正确性，一切都是如此简单！撒D版欢迎来到D狱上D的算法没能给我们很大的帮助，但是这种思想给了我们一点启发：算法的能力是有极限的。我从短暂的 OI 生活当中学到一件事：越是玩弄优化，就越会发现算法被时间复杂度所限制……除非超越算法。你到底想说什么？我不做人了，JOJO！（划去）我不要精确度了！于是我们祭出了费马小定理：如果 p 是素数，那么有 a^p \equiv a \pmod p 。虽然费马小定理的逆命题是不成立的，但是不排除它在绝大多数情况下都是成立的。为了方便计算，取 a=2，于是我们又得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

int t = 1, m = 2, p = n;

while(p) { // 快速幂取模

if (p % 2) t = ((long long)t * m) % n;

m = (m * m) % n;

p >>= 1;

}

t = (t - 2) % n;

return t == 0;

}

这个算法的速度相比之前的算法，完全不在一个数量级上，只是精确度稍微差了那么一（亿）点点。比如经典的卡迈克数561，它虽然是合数（561=3×11×17），但是会被这个算法判定为质数。但是，如果我们对这一算法进行一（亿）点点改进，就能得到大名鼎鼎的 Miller-Rabin 素性检验算法[1]。这一算法在费马小定理之外，还需要另一个更加复杂的数论定理：二次检验定理：对于质数 p，在0~p-1范围内，满足 x^2\equiv 1\pmod p 的整数只有 1 和 p-1。证明就留做习题吧。根据二次检验定理，对于一个整数 x，如果 x^2,x^4,x^8,\cdots 除以 n 的余数都不为1，那么 n 就很有可能是一个质数。然后我们再把费马小定理换个形式，如果 a^{n-1} 除以 n 的余数为1，那么 n 很可能是一个质数。接下来，就是撒D赐予我们的鬼才逻辑了。首先把 n-1 分解为 2^s\cdot t ，接着再把 a^t 不断平方，每平方一次，进行一次二次检验，这样平方 s 次之后，恰好就求出了 a^{n-1} 。int prime[10]={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};

bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

if (n == 2) return true;

int s = 0, t = n - 1;

while (!(t % 2)) ++s, t >>= 1; // 求解 n-1=2^s*t

for (int i = 0; i < 10 && prime[i] < n; ++i) {

int a = prime[i];

int b = 1, m = a, p = t;

while (p) { //快速幂，求 b=a^t

if (p % 2) b = ((long long) b * m) % n;

m = ((long long)m * m) % n;

p >>= 1;

}

if (b == 1) continue;

for (int j = 1; j <= s; ++j) { // 进行 s 次二次检验

int k = ((long long)b * b) % n;

if(k == 1 && b != n-1) return false;

b = k;

}

if (b != 1) return false;

}

return true;

}

这里选取了前10个质数作为底，已经可以规避绝大多数的误检情况。最后的最后也许质数检验这一个问题并不像它看上去的那么简单。在它的背后，蕴含着深刻的数学原理。2002年，来自印度坎普尔理工学院的计算机科学家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，发表了论文 PRIMES is in P[2]，提出了第一个一般的、确定性的、不依赖未证明命题的多项式时间素数判定算法，作者们也因此获得了哥德尔奖和富尔克森奖。回观这篇文章中提到的算法，每一次进步都离不开跳出框架局囿的创新思考。要敢于打破那些固有认知中的限制。也许哪一天，用神经网络判别质数这样看起来根本不可能的想法，也会变成现实呢。参考^Hurd J. Verification of the Miller–Rabin probabilistic primality test[J]. The Journal of Logic and Algebraic Programming, 2003, 56(1-2): 3-21.^Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.发布于 2020-03-17 12:57初等数论素数数论赞同 27422 条评论分享喜欢收藏申请

请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎

请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数论素数初等数论请通俗易懂地讲讲什么是素数（质数）？本人不知道质数（素数）到底是什么，因数这些与它相关的数学术语也不知道。所以请通俗易懂地，尽可能简单地讲讲什么是质数，就如同跟小孩讲这个一样，谢谢。显示全部关注者23被浏览68,616关注问题写回答邀请回答好问题 2添加评论分享17 个回答默认排序知乎用户数学话题下的优秀答主小学的时候经常会把一些弹力球啊弹珠之类的东西摆成特定的形状玩。比如10颗弹珠，我们可以把它们摆放成2×5的长方形，或者5×2的长方形。总之可以摆出长方形。但是有一些数目的弹珠没法摆成长方形，只能摆成长长的一行或一列。这样的数目我们叫做素数。发布于 2020-09-29 23:15赞同 462 条评论分享收藏喜欢收起何冬州杨巅杨艳华典生软件试用与测试关注将自然数写成比它自己小的自然数的乘积，如果不能做到，那么它要么是0，要么是1，要么是质数。例如4=2*2，4可以写成比4小的数相乘，因此4不是素数。例如2，比2小的自然数有0和1，它们无论怎么相乘，得不到2，所以2是素数。再如3，比3小的自然数有0,1,2，它们无论怎么相乘，得不到3，所以3是素数。再如5，比5小的自然数有0,1,2,3,4，它们无论怎么相乘，得不到5，所以5是素数。关于0,1的特性，见后文说明。换个说法：一个自然数，如果它不是0，也不是1，它也不能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是质数。30以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29外一则：一个自然数，如果它能分解成比它自己小的自然数的乘积，那么它是合数。30以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28合数分解成比它自己小的自然数的乘积举例：4=2*2=2^2，6=2*3，8=2*4=2*2*2=2^3，9=3*3=3^2，10=2*5，12=2*6=2*2*3=4*3=(2^2)*3，......综上，自然数可以分三类：{0,1}为一类，质数为一类，合数为一类。或者分四类：1，质数，合数，0{0,1}，0的乘法属性是吸收一切，是随自己的，0乘以任何数得0；1的乘法属性是奉献自我，是随他人的，1乘以谁就等于谁。它们的共性，0乘0等于他自己，1乘1等于他自己，可以称呼它们为幂循环数。质数，它不是1，它被1和它自己整除，不能被其它数整除。能整除它的数，只有1和它自己，只有这2个。我们说他的因数有2个。合数，除了能被1和它自己整除，还能被小于它的其它数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有有限个。我们说他的因数有多个。1只能被1整除，我们说他的因数只有1，同时也是它自己，它只有1个因数。0除了能被1和它自己整除，还能被其它任意自然数整除。能整除它的数，除了1和它自己，还有无限个。我们说他的因数有无数个（无限，无穷，无穷多个）。我个人有个提议：将0，1，素数称为准数，或分解基数，在考虑自然数的分解时，它们是基本的、基础的数。相关答题：何冬州杨巅杨艳华典生：为什么1不算素数？何冬州杨巅杨艳华典生：请通俗易懂地讲讲什么是素数(质数)?何冬州杨巅杨艳华典生：对于特定的正整数n，能拆成不同的n组两个素数之和的偶数有是否只有有限多个？以下为2021-8-10新增{质数和合数这两个词，是相对反义词。自然数={非质数也非合敢(幂循环数)0，1}+{质数2,3,57,11,13,...}+{合数4,6,8,9,10,12,...}我提议：自然数={准数(或称分解基数0,1这两个幂循环数，和所有质数)}+{合数4,6,8,9,10,12,...}补注：1曾经被归入质数，但为了保证质因数分解的有效性和唯一性，后来将他从质数中区别出来。0在某种意义上既有与合数相似的属性，我也曾想到把它归入合数里面。后来又发现，0也有与质数相似的属性(将它要写成因数分解的形式，必须有他自己存在)。同时我们发现，0与1有一种共性，就是他们的乘幂具有幂循环性(幂守性，幂模不变性，幂的绝对值不变性)：我们定义j具有幂循环性(幂守性)，是指j^n∈有限集合F(当n遍历自然数集时)。在自然数集上也可以称为幂等性，对应j=0,1，有限集合F={0},{1}；在(有理)整数集上，对应j=0,-1，有限集合F={0},{-1,1}；在高斯整数集{形如a+b√(-1)，(常常将√(-1)记作i)；a，b为有理整数}，对应j=0,√(-1)，有限集合F={0},{-i,-1,i,1}；在代数整数集上，...数的乘积分解，必须考虑到这种幂循环性。因此我们把幂循环数和质数合称为(积)分解基数，或者积准数，简称准数。8月13日新增：一、幂循环数：自然数范围内讨论：0的因数为任意自然数，即因子个数为∞个。1的因数只有1，即因子个数为1个。0的n≥1次方幂是0，1的n≥1次方幂是1，他们具有共性：幂等于它们自己。它们均归入幂循环数。0以外的幂循环数称为幺数。幺数的概念扩展：如果一组幺数可以由一个幺数e的幂来生成，那么我们称这个幺数e为本原幺数或者 (本)母幺数，其他幺数为派生幺数。称这些幺数之间的关系为相伴。如果一个数a=另外一个数b*幺数，我们也说a和b相伴。在整数范围内，1与-1均为幺数，其中-1是本原幺数。二、质数：自然数范围内讨论：因数个数=2个。质数概念扩展到整数范围：质数与它的相伴数，即质数*幺数=质数*{-1,1}，均称为质数，也可以称为正质数与负质数。更广的扩充：质数的相伴数我们均称为质数。但是为了保证质因数分解的唯一性，我们最好是将基本的质数和本母幺数称为分解基数或准数，称为数的准数因子分解的唯一性，或者质因数分解的相伴数归并意义上的唯一性。(这些用辞有待进一步的标准化和简化。)}编辑于 2021-08-13 18:17赞同 99 条评论分享收藏喜欢

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